Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠CAD．

（1）求证：直线MN是⊙O的切线；

（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

（1）连接OC，易证∠OCA=∠OAC=∠CAD，从而OC∥AD，推出OC⊥MN，可得出直线MN是⊙O的切线；（2）由条件在Rt△ADC中，可求得AD、AC的长，易证△ADC∽△ACB，利用对应边成比例求出AB的长，半径即可求出.

（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∴∠ACO=∠CAD．OC∥AD，又∵AD丄MN，∴OC丄MN，∴直线MN是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵AD丄MN，∴∠ADC=90°．∵CD=3，∠CAD=30°，∴AD=6，.∵∠BAC=∠CAD，∠ACB=∠ADC，∴△ABC∽△ACD，∴，

∴,AB=4，∴⊙O的半径为2．