Question

已知关于x的一元二次方程有两个实数根x₁，x₂．

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）不存在

【解析】

（1）由题意可得△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；

（2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立．由根与系数的关系可得x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把x1·x2-x12-x22≥0转化为3x1·x2-（x1+x2）2≥0的形式，通过解不等式可以求得k的值．

（1）∵原方程有两个实数根，

∴△≥0

即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，

∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0 ，

∴1﹣4k≥0，

∴k≤，

∴当k≤时，原方程有两个实数根；

（2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立，

∵x1，x2是原方程的两根，

∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，

由x1·x2-x12-x22≥0，

得3x1·x2-（x1+x2）2≥0

∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，

整理得：﹣（k﹣1）2≥0，

∴只有当k=1时，上式才能成立；

又∵由（1）知k≤，

∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.