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在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+x+4的图象与x轴交于B,C两点(B在C的...

在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+x+4的图象与x轴交于BC两点(BC的左侧),与y轴交于点A

1)求出点ABC的坐标.

2)在抛物线上有一动点P,抛物线的对称轴上有另一动点Q,若以BCPQ为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点P的坐标.

3)向右平移抛物线,使平移后的抛物线恰好经过ABC的外心,求出平移后的抛物线的解析式.

 

(1)A(0,4),B(﹣2,0),C(8,0);(2)P(3,)或(﹣7,﹣)或(13,﹣);(3)y=﹣+4x﹣ 【解析】 (1)分别令x=0和y=0代入可求得点A,B,C的坐标; (2)利用配方法求出抛物线的顶点坐标,分三种情况:当P在x轴的上方时,即为抛物线的顶点P(3,);当P在x轴的下方时,有两种情况:①当P在抛物线对称轴的左侧时,如图2,②当P在抛物线对称轴的右侧时,如图3,根据PQ=BC=10,求出横坐标后再求纵坐标; (3)通过证明△AOB∽△COA,得△ABC是直角三角形,得△ABC的外心E的坐标为(3,0),则抛物线向右平移5个单位,由此写出平移后的抛物线的解析式. 【解析】 (1)当x=0时,y=4, ∴与y轴交点A(0,4), 当y=0时,﹣x2+x+4=0, 解得:x=﹣2或8, ∴B(﹣2,0),C(8,0); (2)y=﹣x2+x+4=﹣(x﹣3)2+, 当P在x轴的上方时,即为抛物线的顶点P(3,)时,可以构成平行四边形BPCQ,如图1, 当P在x轴的下方时, ∵BC=2+8=10, 若四边形BPCQ为平行四边形,则BC∥PQ,BC=PQ=10, 有两种情况:①当P在抛物线对称轴的左侧时,如图2, ∴点P的横坐标为﹣7, 当x=﹣7时,y=﹣×(﹣7)2+×(﹣7)+4=﹣, 此时P(﹣7,﹣); ②当P在抛物线对称轴的右侧时,如图3, ∴点P的横坐标为13, 当x=13时,y=﹣×132+×13+4=﹣, 此时P(13,﹣); 综上所述,点P的坐标为P(3,)或(﹣7,﹣)或(13,﹣); (3)如图3, ∵A(0,4)、B(﹣2,0)、C(8,0) ∴OA=4,OB=2,OC=8, ∴ ∴, ∵∠AOB=∠AOC=90°, ∴△AOB∽△COA, ∴∠BAO=∠ACO, ∵∠ACO+∠OAC=90°, ∴∠BAO+∠OAC=90°, ∴∠BAC=90°, ∴△ABC是直角三角形, ∴△ABC的外心就是斜边BC的中点E, ∵BC=10, ∴BC的中点E的坐标为(3,0), 即平移后的解析式经过E(3,0), ∴相当于把原抛物线向右平移5个单位, ∴平移后的解析式为:y=﹣(x﹣3﹣5)2+=﹣+4x﹣.
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