Question

如图，以的边为边,向外作等边和等边三角形,连接相交于点.

(1)求证:;

(2)求的度数;

(3)请直接写出的度数.

Answer

(1)证明见解析；(2) 120；(3) 60

【解析】

（1）由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两组对应边相等，两三角形的内角都为60°，利用等式的性质得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得证；

（2）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACD=∠AEB，而∠DFE为三角形EFC的外角，利用外角的性质列出关系式，等量代换后即可求出其度数．

(3)作AM⊥BE，AN⊥DC，利用全等三角形及面积法证得AM=AN，点A在∠DFE的平分线上，从而求得结论.

（1）∵△ABD和△ACE都为等边三角形，

∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

∴△DAC≌△BAE（SAS）

∴；

（2）由(1)中△DAC≌△BAE得：

∵∠DFE为三角形EFC的外角，

∴∠DFE=∠FCE+∠CEF=∠FCA+∠ACE+∠CEF=∠ACE+∠CEF+∠FEA=∠ACE+∠AEC=60=120；

（3）过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．

∵由（1）知：△DAC≌△BAE，
∴ = ，
∴•DC•AN＝•BE•AM
∴AM=AN
∴点A在∠DFE的平分线上，
即FA平分∠DFE

∴∠AFD=∠DFE=60．