Question

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点C作∠BCP＝∠BAC，交AB的延长线于点P，弦CD平分∠ACB，交AB于点E，连接OC、AD、BD．

（1）求证：PC为⊙O的切线；

（2）若OC＝5，OE＝1，求PC的长．

Answer

（1）证明见解性；（2）PC＝12

【解析】

（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得OC⊥PC，即可证得结论；

（2）证明∠PEC＝∠PCE，根据等角对等边可得PE＝PC，设PC＝PE＝x，则OP＝x＋1，根据勾股定理即可求得．

（1）证明：∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°

∴∠BAC+∠OBC＝90°，

∵∠BCP＝∠BAC，

∴∠OCB+∠BCP＝90°，即∠OCP＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC为⊙O的切线；

（2）【解析】
∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD

∴＝，

∴∠ABD＝∠DCB，

∵∠BCP＝∠BAC，∠BAC＝∠BDC，∠BAD＝∠BCD，

∴∠PCB＝∠BDC，∠ABD＝∠BCD，

∴∠BDC+∠ABD＝∠BCD+∠PCB，即∠PEC＝∠PCE，

∴PC＝PE，

设PC＝PE＝x，则OP＝x+1，

在Rt△OPC中，OP2＝OC2+PC2，

∴（x+1）2＝52+x2，

解得x＝12，

∴PC＝12．