Question

已知：三角形纸片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是边AC上一点．将三 角形纸片折叠，使点B与点B′重合，折痕与BC、AB分别相交于E、F．设BE=x，

（1）若x=4，求B′C的长；

（2）当△AFB′是直角三角形时，求出x的值．

Answer

（1）；（2）x=4或24−12

【解析】

（1）设B′C=y,根据折叠的性质得BE=B′E=4，在Rt△EB'C中利用勾股定理得y2+（6-x）2=x2，然后代入求值，解方程即可；

（2）根据锐角三角函数，得∠A=30°，由折叠的性质得到∠FB'E=∠B=60°，然后讨论：①当∠AFB'=90°时，则∠AB′F=60°，易得∠B'EC=30°，则B′C=B′E，即y=x，把y代入得到关于x的方程，解方程求出满足条件的x的值；②当∠AB'F=90°时，则∠EB'C=30°，即有EC=EB′，即6-x=x，解方程即可．

【解析】
（1）设B′C=y

∵三角形纸片折叠，使点B与点B′重合，

∴BE=B′E，

∴B'E=x，CE=6-x，

在Rt△EB'C中，B'E2=CE2+B'C2，即y2+（6-x）2=x2，

当x=4时，

∴y2+（6-4）2=42

解得：（负值舍去）

∴B′C′=；

（2）由（1）可知：y2+（6-x）2=x2，

解得：

∵∠C=90°，AB=12，BC=6，

∴

∴∠A=30°，

∴∠FB'E=∠B=60°，

①当∠AFB'=90°时，则∠AB′F=60°，

∴∠EB'C=60°，

∴∠B'EC=30°，

∴B′C=B′E，即y=x，

∴，

解得x=24±12，

∵3≤x≤6，

∴x=24-12；

②当∠AB'F=90°时，则∠EB'C=30°，

∴EC=EB′，即6-x=x，解得x=4，

所以x=4或24−12时，△AFB’是直角三角形．