Question

已知：AB⊥AC，DE⊥AB，AC=BE，BC=BD，

（1）求证：BC⊥BD；

（2）若点F是BC，BD的垂直平分线的交点，连接FA、FE.填空：判断△AFE的形状是_____.

Answer

（1）证明见解析；（2）等腰直角三角形

【解析】

（1）利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△EDB，然后得到∠D=∠ABC，从而求证；（2）连接FC，FB,FD，利用垂直平分线的性质

证明：（1）∵AB⊥AC，DE⊥AB

∴∠CAB=∠BED=90°

在Rt△ABC≌Rt△EDB中，

∴Rt△ABC≌Rt△EDB（HL）

∴∠D=∠ABC

又∵∠DBE+∠ABC=90°

∴∠D+∠ABC=90°

∴∠CBD=90°

即BC⊥BD；

（2）连接FC，FB,FD，

∵点F是BC，BD的垂直平分线的交点

∴FC=FB=FD

∴∠CBF=∠FCB

又∵BC=BD，BF=BF

∴△BCF≌△BDF

又∵∠CBD=90°

∴∠DBF=∠CBF=45°

∴∠FCB=∠DBF=∠CBF=45°

∴∠CFB=90°

又∵Rt△ABC≌Rt△EDB

∴∠ACB=∠DBE，AC=BE

∴∠ACF=∠EBF

又∵FC=FB

∴△FAC≌△FEB

∴FA=FE，∠AFC=∠EFB

∵∠CFB=90°

∴∠CFE+∠EFB=90°

∴∠AFC+∠EFB=90°

即∠AFE=90°

即△AFE是等腰直角三角形