Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，抛物线经过A，B与点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E.设点P的横坐标为m.

①求的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？

②若点E是垂线段PD的三等分点，求点P的坐标.

Answer

（1）；（2）①解析式，当m=1时y有最大值，最大值是3；②P（2,3）或P（）

【解析】

（1）根据“直线与x轴，y轴分别交于点A，点B”可求A，B坐标，再将A，B，C三点坐标代入二次函数解析式即可求出a，b，c的值，从而得出答案；

（2）①根据已知可得点P坐标，从而可求点E坐标，根据两点之间的距离公式可知PE的代数式，再根据三角形的面积公式即可得出结论；②分当PE=2ED时，当2PE=ED两种情况，列方程求解即可得出结论.

【解析】
（1）∵直线与x轴，y轴分别交于点A，点B

∴A（3,0），B（0,3）

将A（3,0），B（0,3），C（-1,0）代入到中有

解得

∴抛物线的解析式为；

（2）①∵点P的横坐标为m，且在抛物线上

∴点P的坐标为（m，）

∵PD⊥x轴

∴点E的坐标是（m，-m+3）

∴

∴

∴y关于m的解析式为：

∵

∴当m=1时，y有最大值，最大值是3；

②当PE=2ED时，

即

解得：m=2或m=3（不符合题意舍去）；

当2PE=ED时

即

整理得

解得：，m=3（不符合题意舍去）

将点m=2或m=代入抛物线解析式

∴点P（2,3）或P（）