Question

已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G．

（1）求证：∠CDF＝∠DAE；

（2）如果DE＝CE，求证：AE＝3EG．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由四边形ABCD是菱形，得到AD=CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠DCF，推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得到∠CDF=∠DAE；
（2）过E作EH∥BF交DF于H，根据三角形中位线的性质得到EH＝CF，

于是得到DE＝CF＝CD＝AD，即EH＝AD，可证得△GHE∽△GDA，根据相似三角形的性质即可得到结论．

证明∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DCF，

在△ADE与△DCF中，

，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠CDF＝∠DAE；

（2）过E作EH∥BF交DF于H，

∵DE＝CE，

∴EH＝CF，

∵△ADE≌△DCF，

∴DE＝CF＝CD＝AD，

∴EH＝AD，

∵EH∥AD，

∴△GHE∽△GDA，

∴，

∴AE＝3EG．