Question

已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连结EM，分别交线段AD、AC于点F、G．

(1)求证：；

(2)当BC²=2BA∙BE时，求证：∠EMB=∠ACD．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，易证△FGA∽△MGC ，△EAF∽△EBM，再利用相似三角形的性质与等量代换即可得证；

（2）将BC2=2BA∙BE变形为，根据相似三角形的判定可得△BCA∽△BEM，则∠BME=∠BAC，再根据平行四边形的性质即可得证.

【解析】
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴ △FGA∽△MGC ，△EAF∽△EBM，

∴，,

∵M是BC边的中点,

∴CM=BM，

∴，

∴；

(2)∵BC2=2BA⋅BE，

∴，

∵∠B=∠B，

∴△BCA∽△BEM，

∴∠BME=∠BAC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC，

∴∠EMB=∠ACD．