Question

如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC.

(1)求证：四边形EFCD是平行四边形．

(2)若BE＝EF，求证：AE＝AD.

Answer

1. （1）证明：△ABC是等边三角形

∴∠B=60º

∵∠EFB=60º，∴∠B=∠EFB，∴EF∥DC……………………2分

∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形…………4分

2. （2）连接BE

∵BF=EF，∠EFB=60º

∴△EFB是等边三角形，∴EB=EF，∠EBF=60º………………6分

∵DC=EF，∴EB=DC

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60º，AB=AC

∴∠EBF=∠ACB………………8分

∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD………………10分

【解析】

试题（1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；

（2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又

△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，然后即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD．

试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∵∠EFB=60°，

∴∠ABC=∠EFB，

∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），

∵DC=EF，

∴四边形EFCD是平行四边形；

（2）连接BE

∵BF=EF，∠EFB=60°，

∴△EFB是等边三角形，

∴EB=EF，∠EBF=60°

∵DC=EF，

∴EB=DC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，AB=AC，

∴∠EBF=∠ACB，

∴△AEB≌△ADC，

∴AE=AD．