Question

如图在直角三角形ABC中，边AC长4cm，边BC长3cm，边AB长5cm．

（1）三角形绕着边AC旋转一周，所得几何体的体积和绕着边BC旋转一周所得几何体体积是否一样？通过计算说明；

（2）若绕着边AB旋转一周，所得的几何体的体积是多少？

Answer

（1）三角形绕着边AC旋转一周，所得几何体的体积和绕着边BC旋转一周所得几何的体积不一样；（2）9.6πcm2

【解析】

（1）先分别求出旋转后得出的圆锥的体积，再比较即可；

（2）求出直角△ABC的高CD，再求出圆锥的体积即可．

（1）三角形绕着边AC旋转一周，所得几何体的体积是×π×32×4=12π（cm）2；

三角形绕着边BC旋转一周，所得几何体的体积是×π×42×3=16π（cm）2；

∵12π≠16π，

∴三角形绕着边AC旋转一周，所得几何体的体积和绕着边BC旋转一周所得几何的体积不一样；

（2）过C作CD⊥AB于D，

∵AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，

又∵32+42=52，

∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°

由三角形的面积公式得：，

CD=2.4（cm），

由勾股定理得：AD==3.2（cm），BD=5cm﹣3.2cm=1.8cm，

绕着边AB旋转一周，所得的几何体的体积是：×π×2.42×3.2+×1.8=9.6π（cm）2．