Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC﹣CB﹣BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．

（1）当t=5秒时，点P走过的路径长为　　；当t=　　秒时，点P与点E重合；

（2）当点P在AC边上运动时，连结PE，并过点E作AB的垂线，垂足为H．若以C、P、E为顶点的三角形与△EFH相似，试求线段EH的值；

（3）当点P在折线AC﹣CB﹣BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点Q．在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值．

Answer

（1）19；3 ；（2）EH=或；（3）满足要求的t值为t＝，

【解析】

（1）19；3

（2）注意到△EFH为直角边3:4的直角三角形，若△CPE与之相似，也应如此.

而CP＝6－3t，CE＝t，分别令CP:CE＝3:4或4:3，解得t＝或

当t＝时，EH＝；当t＝时，EH＝

（3）当点P在AC上运动时，若四边形PEQF为菱形，连结PQ，则PQ垂直平分EF.

故有EF＝2CP，于是 (8－t)＝2(6－3t)，解得t＝＜2，符合

当点 P在CB上运动时，显然不构成四边形.

当点 P在BA上运动时，若四边形PEQF为菱形，有4＜t＜，且PE＝PF.

在Rt△BEF中，可知P为BF的中点，故有BF＝2BP，于是 (8－t)＝2×5(t－4)，

解得t＝，也符合

综上所述，满足要求的t值有两个，t＝，