Question

已知:如图,△ABC中,点O是AC上的一动点,过点O作直线MN∥AB,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F连接AE、AF.

(1)求证:∠ECF=90°；

(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?请说明理由；

(3)在(2)的条件下,△ABC应该满足条件:______________，就能使矩形AECF变为正方形。(直接添加条件,无需证明)

Answer

（1）详见解析；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由详见解析；（3）∠ACB为直角的直角三角形．

【解析】

（1）已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，根据角平分线的定义可得∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，由平角的定义即可证得结论；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，根据平行线的性质及角平分线的定义易证∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，由等腰三角形的判定可得EO=CO，FO=CO，即可得OE=OF；当点O运动到AC的中点时，AO=CO，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得四边形AECF是平行四边形，结合（1），根据有一个角为直角的的平行四边形为矩形即可证得四边形AECF是矩形；（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．

（1）证明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，

∴∠ECF= ×180°=90°；

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，

又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，

∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF；

又∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ECF=90°，

∴四边形AECF是矩形；

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．

∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，

已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF是正方形．

故答案为：∠ACB为直角的直角三角形．