Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝.下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4.其中正确的结论是______________.(填序号)

Answer

①、②、③、④．

【解析】试题①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD；故①正确，

②AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，∴BC=2ABcosB=2×10×=16，∵BD=6，∴DC=10，∴AB=DC，

在△ABD与△DCE中，∠BAD＝∠CDE ∠B＝∠C AB＝DC ∴△ABD≌△DCE（ASA）． 故②正确，

③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．

当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=．AB=10，

∴cosB==∴BD=． 故③错误．

④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，设BD=y，CE=x，∴∴

整理得： -16y+64=64-10x， 即=64-10x， ∴0＜x≤6.4． 故④正确．