Question

如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE∥AC于E，DF∥AB交AC于F，连接EF。

（1）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由。

Answer

（1）∠BAC=90°，理由见解析；（2）∠BAC=90°，且AB=AC，理由见解析

【解析】

试题（1）先由已知条件证出四边形是平行四边形，再由 即可得出四边形是矩形；
（2）由（1）得：当时，四边形是矩形，再证出即可得出四边形是正方形．

试题解析：(1)当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形AEDF是矩形；理由如下：

∵DE∥AC,DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又

∴四边形AEDF是矩形；

(2)当△ABC满足，且AB=AC时，四边形AEDF是正方形；理由如下：

由(1)得：当时，四边形AEDF是矩形，

又∵AB=AC，

∵AD⊥BC，

∴△ABD和△ACD是等腰直角三角形，

∵DE∥AC，

∴DE⊥AB，

∴AE=BE，

同理：

∴DE=DF，

∴四边形AEDF是正方形；