Question

如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D.AC平分∠DAO，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.

①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．

Answer

(1)详见解析；（2）2－2.

【解析】

（1）由切线性质知OC⊥CD，结合AD⊥CD得AD∥OC，即可知∠DAC=∠OCA=∠OAC，从而得证；

（2）①由AD∥OC知∠EOC=∠DAO=105°，结合∠E=30°可得答案；

②作OG⊥CE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG=FG=OG，由OC=2得出CG=FG=OG=2，在Rt△OGE中，由∠E=30°可得答案．

（1）∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OAC=∠DAC，

∴AC平分∠DAO；

（2）①∵AD∥OC，

∴∠EOC=∠DAO=105°，

∵∠E=30°，

∴∠OCE=45°；

②作OG⊥CE于点G，

则CG=FG=OG，

∵OC=2，∠OCE=45°，

∴CG=OG=2，

∴FG=2，

在Rt△OGE中，∠E=30°，

∴GE=2，

∴EF＝GE−FG＝2−2．