Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且∠ABC＝60°，AB＝AC，△ADC的外接圆⊙O交BC于点E，连接DE并延长交AB延长线于点F.

(1)求证：CF＝DB；

(2)当AD＝时，求AB的长．

Answer

详见解析.

【解析】

（1）连结AE，由∠ABC=60°，AB=BC可判断△ABC为等边三角形，由AB∥CD，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，则根据圆周角定理可得到AC为⊙O的直径，则∠AEC=90°，即AE⊥BC，根据等边三角形的性质得BE=CE，再证明△DCE≌△FBE，得到DE=FE，于是可判断四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质得CF=DB；

（2）作EH⊥CF于H，由△ABC为等边三角形得∠BAC=60°，则∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DC=AD=1，AC=2CD=2.

则AB=AC=2

（1）证明：连结AE，如图，

∵∠ABC=60°，AB=BC，

∴△ABC为等边三角形，

∵AB∥CD，∠DAB=90°，

∴∠ADC=∠DAB=90°，

∴AC为⊙O的直径，

∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，

∴BE=CE，

CD∥BF，

∴∠DCE=∠FBE，

在△DCE和△FBE中，

，

∴△DCE≌△FBE（ASA），

∴DE=FE，

∴四边形BDCF为平行四边形，

∴CF=DB；

（2）【解析】
作EH⊥CF于H，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠DAC=30°，

在Rt△ADC中，AD=，

∴DC=AD=1，AC=2CD=2，

∴AB=AC=2.