Question

如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连分别交，于点，，过点作交于点，则下列结论：

①；②；③；④；⑤.．其中正确结论的个数为（　　）

A. 5    B. 4    C. 3    D. 2

Answer

B

【解析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP=x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得，从而得出a与x的关系即可判断．

∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，

∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，

∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，

∴∠ADC=15°，故①正确；

∵AE⊥BD，即∠AED=90°，

∴∠DAE=45°，

∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，

∴∠AGF=75°，

由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；

记AH与CD的交点为P，

由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，

则∠BAH=∠ADC=15°，

在△ADF和△BAH中，

∵，

∴△ADF≌△BAH（ASA），

∴DF=AH，故③正确；

∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，

∴△AFG∽△CBG，故④正确；

在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP=x，

设EF=a，

∵△ADF≌△BAH，

∴BH=AF=2x，

△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，

∴BE=AE=AF+EF=a+2x，

∴EH=BE-BH=a+2x-2x=a，

∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，

∴△PAF∽△EAH，

∴，即，

整理，得：2x2=（-1）ax，

由x≠0得2x=（-1）a，即AF=（-1）EF，故⑤正确；

故选：B．