Question

已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）连接CD、OD，先利用等腰三角形的性质证AD=BD，再证OD为△ABC的中位线得DO∥AC，根据DF⊥AC可得；

（2）连接OE、作OG⊥AC，求出EF、DF的长及∠DOE的度数，根据阴影部分面积=S梯形EFDO-S扇形DOE计算可得．

（1）如图，连接CD、OD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

又∵△ABC是等边三角形，

∴AD=BD，

∵BO=CO，

∴DO是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）连接OE、作OG⊥AC于点G，

∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，

∴四边形OGFD是矩形，

∴FG=OD=4，

∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，

∴△OBD和△OCE均为等边三角形，

∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，

∴EG=CE=2、DF=OG=OCsin60°=2，∠DOE=60°，

∴EF=FG-EG=2，

则阴影部分面积为S梯形EFDO-S扇形DOE

=×（2+4）×2-

=.