Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线经过点B，且顶点在直线x=上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，连接CD，与抛物线的对称轴交于点P，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求出S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）点C和点D都在所求抛物线上（3）当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）

【解析】分析：(1)、通过点B（0，4）以及抛物线的对称轴，求出函数关系式；(2)、通过勾股定理和菱形性质求出C、D两点的坐标，代入函数关系式求证；(3)、通过C、D两点的坐标，求出直线CD对应的函数关系式，从而求出点P的坐标，通过△OMN∽△OBD求得ON=，再通过面积求得S与t的函数关系式，从而求得最大值和M点的坐标．

详【解析】
（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，

∵抛物线的对称轴为，∴﹣=﹣，∴b=﹣；

∴所求函数关系式为；

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，

∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）， 当x=5时，y=，

当x=2时，y=， ∴点C和点D都在所求抛物线上；

（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b， 则，解得：，∴，

当时，y，∴P（）， ∵MN∥BD， ∴△OMN∽△OBD，

∴ 即 得ON=， 设对称轴交x于点F，

则=（PF+OM）•OF=×（+t）×， ∵，

， S△PMN= (0＜t＜4)，

a=＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值． 由S△PMN=，

∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．