Question

【操作发现】

如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；

（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=　   　．

【问题解决】

如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；

想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．

…

请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）

【灵活运用】

如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

Answer

【操作发现】（1）作图见解析；（2）45°；【问题解决】7；【灵活运用】．

【解析】试题分析：【操作发现】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可；（2）只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；【问题解决】如图②，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，只要证明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可解决问题；【灵活运用】如图③中，由AE⊥BC，BE=EC，推出AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，只要证明∠GDC=90°，可得CG= ，由此即可解决问题．

试题解析：【操作发现】（1）如图所示，△AB′C′即为所求；

（2）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，

∴AB=AB′，∠B′AB=90°，

∴∠AB′B=45°，

故答案为：45°；

【问题解决】如图②，

∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，

∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°，

∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，

∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，

∴PP′=PC，即AP=PC，

∵∠APC=90°，

∴AP2+PC2=AC2，即（PC）2+PC2=72，

∴PC=2，

∴AP=，

∴S△APC=AP•PC=7；

【灵活运用】如图③中，∵AE⊥BC，BE=EC，

∴AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，

∵∠BAD=∠CAG，

∴∠BAC=∠DAG，

∵AB=AC，AD=AG，

∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，

∴△ABC∽△ADG，

∵AD=kAB，

∴DG=kBC=4k，

∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，

∴∠ADG+∠ADC=90°，

∴∠GDC=90°，

∴CG== ．

∴BD=CG=．