Question

在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即y=2x﹣1．

（1）在上面规定下，抛物线的顶点坐标为　   　，伴随直线为　   　，抛物线与其伴随直线的交点坐标为　   　和　   　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．

①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．

Answer

(1)(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4)；）（2）①m=- ; ②m=-2

【解析】试题分析：(1)、由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；(2)、①、可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②、由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值．

试题解析：(1)、(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4)

(2)、①因为抛物线解析式为，所以其伴随直线为，即。

联立抛物线与伴随直线的解析式可得：，解得或，所以，，

在中，令可计算出或，所以，，

即，，，

若，则，即，

解得：（抛物线开口向下，舍去），，

所以当时，；

②设直线的解析式为，如图过作轴的垂线交于点，如图所示：

因为点的横坐标为，所以，，因为是直线上方抛物线上的一个动点，

所以 ，

所以，。

当时，的值有最大值，所以取得最大值时，即，计算得出．