Question

如图①，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，连接CP.

(1)当⊙O与直角边AC相切时，如图②所示，求此时⊙O的半径r的长；

(2)随着切点P的位置不同，弦CP的长也会发生变化，试求出弦CP的长的取值范围；

(3)当切点P在何处时，⊙O的半径r有最大值？试求出这个最大值．

Answer

(1) r＝;(2) ≤PC≤4;(3)如图②，当P与B重合时，圆最大.半径最大值为.

【解析】试题分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由切线的性质求出PB的长，过P作PQ⊥BC于Q，过O作OR⊥PC于R，根据PQ∥AC得出PC的长，再由△COR∽△CPQ即可得出r的值；

（2）根据最短PC为AB边上的高，最大PC=BC=4即可得出结论；

（3）当P与B重合时，圆最大．这时，O在BD的垂直平分线上，过O作OD⊥BC于D，由BD=BC=2，由于AB是切线可知∠ABO=90°，∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，故可得出∠ABC=∠BOD，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．

试题解析：（1）如图1，

∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=．

∵AC、AP都是圆的，圆心在BC上，AP=AC=3，

∴PB=2，

过P作PQ⊥BC于Q，过O作OR⊥PC于R，

∵PQ∥AC，

∴，

∴PQ=，BQ=，

∴CQ=BC-BQ=，

∴PC=，

∵点O是CE的中点，

∴CR=PC=，

∴∠PCE=∠PCE，∠CRO=∠CQP，

∴△COR∽△CPQ，

∴，即，解得r=；

（2）∵最短PC为AB边上的高，即PC==，最大PC=BC=4，

∴≤PC≤4；

（3）如图2，当P与B重合时，圆最大．O在BD的垂直平分线上，过O作OD⊥BC于D，由BD=BC=2，

∵AB是切线，

∴∠ABO=90°，

∴∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，

∴∠ABC=∠BOD，

∴=sin∠BOD=sin∠ABC=，

∴OB=，即半径最大值为．