Question

在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=+1，P 是△ABC 内一个动点，PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分别为 D、E、F，且 PD+PE=PF．则点 P 运动所形成的图形的长度是__________．

Answer

【解析】如图，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交BC于点N，由PD⊥AB、PE⊥AC、∠A=90°，可得四边形AEPD为矩形，所以DP=AE；由∠A=90°，AB=AC=+1，可得∠C=45°，再由MN∥BC，PE⊥AC可得△PEN为等腰直角三角形，所以PE=EN；又因PD+PE=PF，可得PF=AE+EN=AN；过点N作NG⊥BC与点G，可得PF=EG，△CGN为等腰直角三角形，设PF=EG=x，可得NG=x，因为AC=+1，所以AN+NG=x+x=+1，解得x=1；由此可得当PD+PE=PF时，点 P 运动所形成的图形是线段MN，根据勾股定理可求得MN的长度为.