Question

如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E在AD上，且ED=2AE．

（1）求证：△ABC∽△EAB．

（2）AC与BE交于点H，求HC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）HC=．

【解析】试题分析：(1)、根据矩形的性质得出AB=CD=1，BC=AD=2，∠ABC=∠BAD=90°，根据ED=3AE得出AE=，ED=，从而得到，然后结合公共角得出三角形相似；(2)、根据三角形相似得出∠BHC=90°，根据Rt△ABC的面积相等得出BH的长度，然后根据Rt△BHC的勾股定理求出CH的长度．

试题解析：(1)、证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=1，BC=AD=2，∠ABC=∠BAD=90°，

∴ED=3AE，∴AE=，ED=∵，∴，

∵∠ABC=∠BAE=90°，∴△ABC∽△EAB

(2)、∵△ABC∽△EAB，∴∠ACB=∠ABE，∵∠ABE+∠CBH=90°，∴∠ACB+∠CBE=90°，∴∠BHC=90° ∴BH⊥AC

在Rt△ACB中，∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC=，∵ ∴BH=，

∴CH=.