Question

如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°

（1）求tan∠OAB的值；

（2）求图中阴影部分的面积S；

（3）在⊙O上一点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，回到点A，在点P的运动过程中，满足S_△POA=S_△AOB时，直接写出P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）．

Answer

（1）；（2）（π﹣）cm2；（3）P点所经过的弧长为 πcm或πcm或πcm．

【解析】试题分析：(1)、根据等腰三角形的性质求出∠OAB的角度，从而根据特殊角的三角函数值求出它的值；(2)、阴影部分的面积等于扇形AOB的面积减去△OAB的面积；(3)、本题需要分∠AOP=60°、∠AOP=120°和点P在弧AB上三种情况来分别进行计算，得出答案．

试题解析：(1)、【解析】
∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA，

∵∠OAB= （180°﹣120°）=30°， ∴tan∠OAB=tan30°=；

(2)、【解析】
作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，

在Rt△OAC中，OC=OA=1，AC=OC=， ∴AB=2AC=2，

∴S弓形AB=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣•2 •1=（π﹣）cm2；

(3)、【解析】
延长BO交⊙O于P， ∵OP=OB， ∴此时S△AOP=S△AOB，

∵∠AOP=∠OAB+∠OBA=60°， ∴此时P点所经过的弧长=π（cm）；

当点P在弧AB上，且∠AOP=60°时，时S△AOP=S△AOB ，

此时P点所经过的弧长=2π•2﹣π=π（cm）；

当∠AOP=120时，S△AOP=S△AO， ∴此时P点所经过的弧长=π（cm）；

综上所述，P点所经过的弧长为πcm或πcm或πcm．