Question

问题情境：如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A，C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF，AD．

探究展示：（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；

②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2的情形，图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．

变式练习：（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图3，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，请判断线段BF、AD所在直线的位置关系，并证明你的判断．

Answer

（1）①结论：BF=AD，BF⊥AD；②BF=AD，BF⊥AD仍然成立，证明见解析；（2）结论：BF⊥AD,证明见解析.

【解析】试题分析：（1）①证△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出结论；

②证△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出结论；

（2）证△BCF∽△ACD，推出∠CBF=∠CAD，再根据∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°从而得∠CAD+∠AHO=90°，继而得到∠AOH=90°，得到BF⊥AD.

试题解析：（1）①结论：BF=AD，BF⊥AD；

理由：如图，延长BF交AD于H，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC，∠ACB=90°，

∵四边形CDEF是正方形，

∴CD=CF，∠FCD=90°，

∴∠BCF=∠ACD，

在△BCF和△ACD中，

，

∴△BCF≌△ACD（SAS），

∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，

又∵∠BFC=∠AFH，∠CBF+∠BFC=90°，

∴∠CAD+∠AFH=90°，

∴∠AHF=90°，

∴BF⊥AD；

∴BF=AD，BF⊥AD；

②BF=AD，BF⊥AD仍然成立，

如图，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AC=BC，

∵四边形CDEF是正方形，

∴CD=CF，∠FCD=90°，

∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，

即∠BCF=∠ACD，

在△BCF和△ACD中，

，

∴△BCF≌△ACD（SAS），

∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，

又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，

∴∠CAD+∠AHO=90°，

∴∠AOH=90°，

∴BF⊥AD；

（2）结论：BF⊥AD．

如图，

∵四边形CDEF是矩形，

∴∠FCD=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠FCD

∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，

即∠BCF=∠ACD，

∵AC=4，BC=3，CD=，CF=1，

∴ ，

∴△BCF∽△ACD，

∴∠CBF=∠CAD，

又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°

∴∠CAD+∠AHO=90°，

∴∠AOH=90°，

∴BF⊥AD.