Question

【探索新知】

己知平面上有（为大于或等于的正整数）个点， ， ， ，从第个点开始沿直线滑动到另一个点，且同时满足以下三个条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②次滑动将每个点全部到达一次；③滑动次后必须回到第个点，我们称此滑动为“完美运动”，且称所有点为“完美运动”的滑动点，记完成个点的“完美运动”的路程之和为．

（）如图，滑动点是边长为的等边三角形的三个顶点，此时=__________．

（）如图，滑动点是边长为、对角线（线段、）长为的正方形四个顶点，此时__________．

【深入研究】

现有个点恰好在同一直线上，相邻两点间距离都为．

（）如图，当时，直线上的点分别为点、、．

为了完成“完美运动”，滑动的步骤给出如图所示的两种方法：

   方法： ，    方法：

①其中正确的方法为（   ）．

A．方法                B．方法            C．方法和方法

②完成此“完美运动”的__________．

（）当分别取、时，对应的__________， __________．

（）若直线上有个点，请用含的代教式表示．

Answer

（）;（） ;（）①;②;（）， ; （）为奇数时， ； 为偶数时， ．

【解析】试题分析：（1）根据滑动点是边长为a的等边三角形三个顶点进行判断即可；
（2）根据滑动点是边长为a，对角线长为b的正方形四个顶点进行判断即可；
（3）“完美运动”需要满足以下三个条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A1，而方法2 是错的，不满足第①个条件；
（4）根据条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A1，进行计算即可得出S4=3+2+1+2=8，S5=4+3+2+1+2=12；
（5）如果有n 个点，第一次要最大，只能是从第1 个点到第n 个点，长度是n-1；第2次要最大，只能是从第n 个点到第2 个，长度是n-2；按照此规律，如果n 是奇数，则最
后到最中间的点，此点回到第1个点距离为−1；如果n 为偶数，则最后到的点是+1，此点回到第1 个点距离为，据此进行计算即可．

试题解析：（）滑动点是边长为的等边三角形三个顶点时，滑动路线为， ．

（）滑动点是正方形四个顶点时，滑动路线是， ．

（）①方法不满足条件②，不对，故应选，

②此时．

（）取时，滑动路线应为， ．

取时，滑动路线应为， ．

（）如果有个点，第一次要最大，只能从第个点到第个点，长度是；

第二次要最大，只能从第个点到第个，长度是，依次类推．

若为偶数，最后到中间的点为，回到第一个点距离为，此时，

．

若为奇数，最后到中间的点为，回到第一个点距离为，此时，

．