Question

如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线AC、BD交于O点，E为AD延长线上一点，DE=2，直线OE分别交AB、CD于G、F。

（1）求证：DF=BG；

（2）求DF的长；

（3）若∠ABC=60°，求tan∠AEO。

Answer

（1）见解析；（2）DF=1；（3）．

【解析】分析：（1）根据菱形的性质得出OD=OB，再由平行线的性质得出∠OBG=∠ODF，故可得出△BGO≌△DFO，进而可得出结论；（2）过点O作OK∥AD，由三角形中位线定理得出OK的长，再判定出△DEF∽△KOF，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）过点O作OH⊥AD于点H，根据菱形的性质得出∠ADO=30°，∠OAH=60°，设OH=x，则DH=x，AH=x，再由AD=4可得出x的值，进而得出结论．

本题解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴OB=OD，AB∥CD，∴∠OBG=∠ODF．

∴△BGO≌△DFO（ASA），

DF=BG；

（2）DF=1．

（3）．

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质及锐角三角函数的定义等知识，涉及面较广，难度较大.