Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．

（1）求证：；

（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．

Answer

见解析

【解析】分析：（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；

（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．

本题解析：

证明：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，

又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴，又∵AB=AD，∴；

（2）设AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，

由（1）得：AB2=AE•AC，∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°，

∵F是BC中点，∴BF=x，∴BF=AB=AD，

又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，∴∠ADB=∠CBD=30°，∴AD∥BF，

∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD=AB，∴四边形ABFD是菱形．

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质及菱形的判定知识，得出△ABE∽△ACE是解答本题的关键.