Question

问题背景

在数学活动课上，张老师要求同学们拿两张大小不同的矩形纸片进行旋转变换探究活动．如图 1，在矩形纸片ABCD  和矩形纸片EFGH中，AB＝1，AD＝2，且FE＞AD，FG＞AB，点E 是 AD 的中点，矩形纸片 EFGH 以点E  为旋转中心进行逆时针旋转，在旋转过程中会产生怎样的数量关系，提出恰当的数学问题并加以解决．

解决问题

下面是三个学习小组提出的数学问题，请你解决这些问题．

（1）“奋进”小组提出的问题是：如图 1，当 EF 与 AB 相交于点 M，EH 与 BC 相交于点 N 时，求证：EM=EN．

（2）“雄鹰”小组提出的问题是：在（1）的条件下，当 AM=CN 时，AM 与 BM 有怎样的数量关系，请说明理由．

（3）“创新”小组提出的问题是：若矩形 EFGH 继续以点 E 为旋转中心进行逆时针旋转，当   时，请你在图 2 中画出旋转后的示意图，并求出此时 EF 将边 BC 分成的两条线段的长度．

Answer

（1）证明见解析；（2）AM=BN；（3）EF 将边 BC 分成的两条线段的长度为 ．

【解析】试题分析：（1）过点 E 作 ，垂足为点P，根据已知条件证出PE=AE，再证得∠PEN=∠AEM，进而得到△PEN≌△AEM，即可证得结论；（2）易证PN=CN= PC，进而求出PN=CN=，再判断出AM=PN=，即可得出BM=，从而证得结论；（3）在Rt△PEM中，求出PM的长，再用线段的和差即可得出结论．

试题解析：

（1） 如图1，过点 E 作 ，垂足为点 P，

则四边形 ABPE 是矩形，∴PE=AB=1， ，

∵ 点 E 是 AD 的中点，∴ ，∴PE=AE，

∵ ，∴ ，

∵PE=AE， ，∴，∴EM=EN．

（2） 由（1）知， ，∴AM=PN，

∵AM=CN，∴PN=CN=PC，

∵ 四边形 EPCD 是矩形，∴PC=DE=1，PN=CN=，

∴AM=PN=，BM=AB-AM=，∴AM=BN．

（3）如图2，当∠AEF=60°时，

设EF与BC交于M，EH与CD交于N，过点E作EP⊥BC于P，连接EC，

由（1）知，CP=EP=1，AD∥BC，

∴∠EMP=∠AEF=60°，

在Rt△PEM中，PM=，

∴BM=BP﹣PM=1﹣，CM=PC+PM=1+，

∴EF将边BC分成的两条线段的长度为1﹣，1+．