Question

在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为 BC的中点.

（1）如图（1），若点M、N分别是线段AB、AC的中点。求证：DM=DN

（2）如图（2），若点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△DMN的形状，并证明你的结论。

Answer

(1)证明见解析；（2），证明见解析.

【解析】分析：（1）只要证明△AND≌△BMD即可．

（2）结论：△DMN是等腰直角三角形．只要证明△AND≌△BMD，推出DN=DM，∠ADN=∠BDM，由∠ADB=90°，即∠ADM+∠BDM=90°，推出∠ADM+∠ADN=90°，即∠MDN=90°．

本题解析：证明：（1）∵AB=AC,

∴

∵D是斜边BC上的中点，

∴

又∵是底边BC上的中线，

∴AD也是

∴

∵,M,N分别是线段AB、AC的中点

∴AN=MB

∴

∴

由（1）已证，

∵

∴

∴,

∵

∴，即

∴

点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．