Question

某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植-亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．

（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；

（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．

Answer

（1）2400000元；（2）种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800；每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=-3x+3000（x＞0）；（3）政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；

（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；

（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=-24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．

试题解析：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）

（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：

y=kx+800，z=k1x+3000，

分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，

50k+800=1200，100k1+3000=2700，

解得：k=8，k1=-3，

种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800

每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=-3x+3000（x＞0）

（3）由题意：

w=yz=（8x+800）（-3x+3000）

=-24x2+21600x+2400000

=-24（x-450）2+7260000，

∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．

考点：1.二次函数的应用；2.一次函数的应用．