Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，    过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）求证：四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）根据AAS证明即可判定．

（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DA=DC即可．

（3）利用S菱形ADCF=2S△ADC=S△ABC即可求解．

试题解析：（1）∵AF∥BD，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD中点，

∴AE=ED，

在△BDE和△FAE中，

，

∴△AFE≌△DBE．

（2）连接CF．

∵△AFE≌△DBE，

∴AF=BD

∵∠BAC=90°，BD=CD，

∴AD=DC=DB，

∴AF∥CD，AF=DC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵DA=CD，

∴四边形ADCF是菱形．

（3）∵S△ABC=×AB×AC=10，

∵四边形ADCF是菱形，BD=DC，S△ABC=2S△ADC，

∴S菱形ADCF=2S△ADC=10．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.菱形的判定与性质．