Question

如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接BM，DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB=2，AD=4，求MD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；

（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，即可列方程求得．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

∵在△DMO和△BNO中

∴△DMO≌△BNO（ASA），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∵MN⊥BD，

∴平行四边形BMDN是菱形．

（2）【解析】
∵四边形BMDN是菱形，

∴MB=MD，

设MD长为x，则MB=DM=x，

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=（4﹣x）2+22，

解得：x=，

答：MD长为．

考点：菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．