Question

如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E是AD边上一点，BE＝BC.

⑴ 求证：EC平分∠BED.

⑵ 过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接FD，与EC交于点O，求FD·EC的值.

Answer

（1）证明见解析； （2）EC·FD=6.

【解析】试题分析：（1）由四边形ABCD是矩形，推出AD∥BC，推出∠DEC=∠BCE，由BE=BC，推出∠BEC=∠BCE，推出∠DEC=∠BEC，即可解决问题．
（2）在Rt△ABE中，可得AE==4，推出DE=1，由Rt△ECD≌Rt△ECF，推出ED=EC=1，由CF=CD=3，推出EC垂直平分线段DF，根据S四边形EFCD=2•S△EDC=•EC•DF，即可解决问题．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠DEC=∠BEC，
即EC平分∠BED．

（2）∵CF⊥EB，CD⊥ED，EC平分∠BED，
∴CF=CD=3，
在Rt△ABE中，∵AB=3，BE=BC=5，
∴AE==4，
∴DE=1，
在Rt△ECD和Rt△ECF中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△ECF，
∴ED=EF=1，∵CF=CD=3，
∴EC垂直平分线段DF，
∴S四边形EFCD=2•S△EDC=•EC•DF，
∴•EC•DF=2××3×1=3，
∴EC•DF=6．