Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，﹣3）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点H是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA的最大面积；

（3）若点Q在x轴上，点G为该抛物线的顶点，且∠QGA=45°，求点Q的坐标．

Answer

（1）抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣3；（2）四边形OCHA的最大面积是；（3）点Q的坐标为（2，0）．

【解析】试题分析：（1）、将A、B、C三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式；（2）、首先设H（x，y），求出S与x的函数关系式，然后利用求最值的方法求出最值；（3）、根据函数解析式求出顶点G的坐标，求出AM的长度，得到MG=MA，以点M为圆心，MG为半径的圆过点A、B，与y轴交于点Q1、Q2 ，连结Q1G、Q1A、Q1M，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AG=45°，然后分情况求出点Q的坐标.

试题解析：（1）、二次函数过三点A（6，0）B（-2，0）C（0，-3）

设，则有且， ∴，， ∴

（2）、设，，S=·+·=×3+×6·===

当，S有最大值，.

（3）、∵∴顶点G坐标为（2，-4） 对称轴与x轴交于点M

∴∴MG=MA

以点M为圆心，MG为半径的圆过点A、B，与y轴交于点Q1、Q2 ，连结Q1G、Q1A、Q1M

∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半

∴

Rt△Q1OM中 ∵OM=2 Q1M=4 ∴∴Q1（0，）

由对称性可知：Q2（0，-）若点Q在线段Q1Q2 之间时，如图，延长AQ交⊙M于点P，

∵∠APG=∠AQ1G=45°,且∠AQG＞∠APG ∴∠AQG＞45° ∴点Q不在线段Q1Q2 之间

若点Q在线段Q1Q2 之外时，同理可得，∠AQG＜45°， ∴点Q不在线段Q1Q2 之外

综上所述，点Q的坐标为（0，）或（0，-）

考点：（1）、二次函数的综合应用；（2）、圆的基本性质.