Question

如图，ABC中，AB=AC=4，cosC=．

（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）综合应用：在你所作的圆中，求证： ；

（3）求△BDE的周长．

Answer

（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）△BDE的周长为8+．

【解析】试题分析：做AC的中垂线得出圆心的位置；（2）连接AE，根据直径的性质得出∠AEC=∠AEB=90°，根据AB=AC得出∠BAE=∠CAE，从而得出∠CAE=∠BAE，得出弧相等；（3）根据Rt△ACE的三角形函数得出CE的长度，根据（2）得出BE=CE=DE=4，根据Rt△BCD中∠B的三角函数得出BC和BD的长度，从而得出三角形周长．

试题解析：（1）如图1，⊙O为所求．

（2）证明：如图，连接AE， ∵AC为⊙O的直径，点E在⊙O上，∴∠AEC=90°，

∵AB=AC，∴∠BAE =∠CAE， ∴．

（3）【解析】
如图在Rt△ACE中，

， ，∴．

∵AB= AC，∠AEC=90°，∴∠B =∠ACB，BE= CE=4． 又 ，∴DE= CE=4．

在Rt△BCD中， ， ∵，BC=8，

∴，

∴的周长 ．

考点：三角形外接圆；三角函数．