Question

已知关于x的方程x²-(k+2)x+2k=0.

（1）小明同学说：“无论k取何实数，方程总有实数根。”你认为他说的有道理吗？为什么？

（2）若等腰三角形的一边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。

Answer

（1）5分；（2）7分．

【解析】试题分析：（1）求出方程的根的判别式化简说明即可；（2）分b=c和b≠c两种情况讨论，利用三角形的三边关系判别对错即可．

试题解析：（1）∵

∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．

（2）分两种情况：

①若b=c，∵方程x2-（k+2）x+2k=0有两个相等的实数根，∴△= b2-4ac=（k-2）2=0，

解得k=2，∴此时方程为x2-4x+4=0，解得x1=x2=2，∴△ABC的周长为5；

②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，

∵把x=1代入方程x2-（k+2）x+2k=0，得1-（k+2）+2k=0，

解得k=1，

∴此时方程为x2-3x+2=0，

解得x1=1，x2=2，

∴方程另一根为2，

∵1、1、2不能构成三角形，

∴所求△ABC的周长为5．

综上所述，所求△ABC的周长为5．

考点：1．一元二次方程根的判别式、2．一元二次方程的根、3．等腰三角形的性质．