Question

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，动点P在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标．

Answer

（1）则抛物线的解析式是y=﹣x2+3x+4；

（2）存在． P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）当EF最短时，点P的坐标是（，2）或（，2）．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法将点的坐标代入解析式即可求；

（2）分点A为直角顶点时，和点C为直角顶点两种情况讨论，即可得；

（3）据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点，则DF=OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，

∴ ，解得： ，

则抛物线的解析式是y=﹣x2+3x+4；

（2）存在．

①当以C为直角顶点时，

过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1，

过点P1作y轴的垂线，垂足是M，如图1．

∵∠ACP1=90°，

∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC=4，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

设P（m，﹣m2+3m+4），

则m=﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴m=2，

此时﹣m2+3m+4=6，

∴P1的坐标是（2，6）；

②当点A为直角顶点时，

过A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，

过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2，则P2N∥x轴，

∵∠CAO=45°，

∴∠OAP2 =45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF，

∴P2N=NF，

设P2（n，﹣n2+3n+4），

则﹣n+4=﹣（﹣n2+3n+4），

解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），

∴n=﹣2，

此时﹣n2+3n+4=﹣6，

∴P2的坐标是（﹣2，﹣6）．

综上所述：P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）当EF最短时，点P的坐标是（，2）或（，2）．

解题过程如下：

连接OD，如图3，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．

根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．

根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点．

又∵DF∥OC，

∴△AFD∽△AOC，

∴ =，

∴DF= OC=2，

∴点D的纵坐标是2，

∴点P的纵坐标也是2，

解﹣x2+3x+4=2，得x1= ，x2=，

∴点P的坐标为（，2）或（，2）．

【点睛】本题考查二次函数综合，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．