Question

已知：抛物线y=ax²+4ax+t与x轴的一个交点为A（－1，0）

  （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

  （2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

  （3）E是第二象限内到x轴，y轴的距离 的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问 ：在抛物线的对称轴上是否存在点P， 使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer

(1) 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为：（-3，0）；（2）y=x2+4x+3或y=3x2+12x+9；（3）P的坐标为（-2， ）

【解析】试题分析：（1）本题需先根据y=ax2+ax+t的对称轴，又与x轴相交即可求出点B的坐标．

（2）本题需先根据已知条件得出C的纵坐标，再根据形ABCD的面积为9，得出C点的坐标，从而得出a的值，即可求出解析式．

（3）本题需先设出E点的坐标，再把它代入抛物线的解析式中求出m的值，然后求出点E关于直线x=-2对称点的坐标E′，最后求出AE′的解析式即可求出答案．

试题解析：（1）∵y=ax2+ax+t的对称轴为x=-2

∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为：（-3，0）

（2）∵D为抛物线与y轴相交

∴D的纵坐标为t

∵CD∥AB

∴C的纵坐标也为t

∵梯形ABCD的高为t

∴S梯形ABCD=9

∴

∴CD=

∴点C的坐标为（，t）

∴（）2++t=t

整理得：（2t-18）（6t-18）=0

∴t1=3，t2=9

∴a1=4，a2=12

∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3或y=3x2+12x+9

（3）当点E在抛物线y=x2+4x+3时

设E点的横坐标为-2m，则E的纵坐标为5m

把（-2m，5m）代入抛物线得：5m=（-2m）2+4×（-2m）+3

解得；m1=3，m2=

∴E的坐标为（-6，15）（舍去）或（-， ）

∴点E关于x=-2对称的点E′的坐标为（-， ）

∴直线AE′的解析式为y=-x-

∴P的坐标为（-2， ）

考点：二次函数综合题．