Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。

（1）求点A，B的坐标；

（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；

（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。

Answer

（1）A（0，-2），B（1，0）；（2）y=-2x+2；（3）y=2x2-4x-2

【解析】试题分析：（1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；

（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，-2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；

（3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式．

试题解析：（1）当x=0时，y=-2，

∴A（0，-2），

抛物线的对称轴为直线x=-=1，

∴B（1，0）；

（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，-2），

则直线l经过A′、B，

设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），

则，

解得，

所以，直线l的解析式为y=-2x+2；

（3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，

结合图象可以观察到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，在-1＜x＜0这一段位于直线l的下方，

∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，

当x=-1时，y=-2×（-1）+2=4，

所以，抛物线过点（-1，4），

当x=-1时，m+2m-2=4，

解得m=2，

∴抛物线的解析式为y=2x2-4x-2．

考点：1.二次函数的性质；2.一次函数图象与几何变换；3.二次函数图象上点的坐标特征．