Question

在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，-2）、点B（3m，4m+1）（m≠-1），点C（6，2），则对角线BD的最小值是____．

Answer

6

【解析】如图,

∵点B(3m，4m+1)，

∴令，

∴y=x+1，

∴B在直线y=x+1上，

∴当BD⊥直线y=x+1时，BD最小，

过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，

∵BE在直线y=x+1上，且点E在x轴上，

∴E(−，0)，G(0，1)

∵F是AC的中点，

∵A(0，−2)，点C(6，2)，

∴F(3，0)

在Rt△BEF中，

∵BH2=EH⋅FH，

∴(4m+1)2=(3m+)(3−3m)，

解得：m1=−14(舍),m2=15，

∴B(， )，

∴BD=2BF=2×=6，

则对角线BD的最小值是6；

故答案为：6.

点睛：本题主要考查了平行四边形的性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、图形与坐标的特点、勾股定理，本题利用点B的坐标确定点B所在的直线的解析式是解题的关键.