Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：

（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？

（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）；

Answer

（1）当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．

（2）t=1或3或或秒时，△PQE是等腰三角形．

【解析】试题分析：（1）如图①所示，当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．解决问题的要点是将△PQE的三边长PE、QE、PQ用时间t表示，这需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例线段关系（或三角函数）；

（2）分三种情形讨论，如图3中，当点Q在线段BE上时，EP=EQ；如图4中，当点Q在线段AE上时，EQ=EP；如图5中，当点Q在线段AE上时，EQ=QP；如图6中，当点Q在线段AE上时，PQ=EP．分别列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8

∴AB==10．

∵D、E分别是AC、AB的中点．

AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且

DE=BC=4，

①PQ⊥AB时，

∵∠PQB=∠ADE=90°，∠AED=∠PEQ，

∴△PQE∽△ADE，

，由题意得：PE=4﹣t，QE=2t﹣5，

即 ，解得t=；

②如图2中，

当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，

∴，

∴，

∴t=，

∴当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．

（2）如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP=EQ，可得4﹣t=5﹣2t，t=1．

如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ=EP，可得4﹣t=2t﹣5，解得t=3．

如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ=QP，可得（4﹣t）：（2t﹣5）=4：5，解得t=．

如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ=EP，可得（2t﹣5）：（4﹣t）=4：5，解得t=．

综上所述，t=1或3或或秒时，△PQE是等腰三角形．

点睛：本题考查的是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状.所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的性质.注意题中求时刻t的方法，学会用分类讨论的思想思考问题.