Question

已知如图，AD∥BC，∠ABC=90^o，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45^o，连接ED，过D作DF⊥BC于F.

（1）若∠BEC=75^o，FC=4，求梯形ABCD的周长。（4分）

（2）求证：ED=BE+FC.（6分）

Answer

（1）12+4 （2）通过证明△DEC≌△EGC（AAS），得ED=EG 从而得ED=BE+FC

【解析】

试题分析：

（1）∵∠ABC=90o，∠BEC=75o，

∴∠ECB=15o，∵∠ECD=45o，∴∠DCF=60o

在Rt△DFC中：∠DCF=60o，FC=4， ∴DF=4，DC=8

由题得，四边形ABFD是矩形∴AB=DF=4，

∵AB=BC，∴BC=4，

∴BF=BC－FC=4－4，∴AD=BF=4－4

∴梯形ABCD的周长为：4+4+8+4－4=12+4

（2）延长EB至G，使BG=CF，连接CG

∵∠CBG=∠DFC=90o，DF=AB=BC ∴△CBG≌△DFC（SAS）

∴∠CDF=∠GCB，∵∠CDF+∠DCF=90o，∴∠GCB+∠DCF=90o

∵∠DCE=45o，∴∠ECG=45o

∴∠DCE=∠ECG ∴△DEC≌△EGC（AAS），∴ED=EG

∴ED=BE+FC

考点：矩形，梯形、全等三角形