Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状并给出证明．

Answer

【解析】
（1）如图所示：

（2）△ADF的形状是等腰直角三角形。

【解析】作图（基本作图），平行的判定和性质，等腰三角形的判定。

【分析】（1）作法：以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN。则DN即为所求。

（2）设DN交AM于F，则

∵AB=AC，AD是高，∴∠BAD=∠CAD。

又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，∴∠FAD=×180°=90°。∴AF∥BC。

∴∠CDF=∠AFD。

又∵∠AFD=∠ADF，∴∠CDF =∠ADF。∴AD=AF。

∴△ADF是等腰直角三角形。