Question

若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C₁：y₁=﹣2x²+4x+2与C₂：u₂=﹣x²+mx+n为“友好抛物线”．

（1）求抛物线C₂的解析式．

（2）点A是抛物线C₂上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．

（3）设抛物线C₂的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C₂的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C₂上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

Answer

(1) u2=﹣x2+2x+3;(2) ;(3) （1，2）或（1，5）.

【解析】试题分析：（1）先求得y1顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值；
（2）设A（a，-a2+2a+3）．则OQ=x，AQ=-a2+2a+3，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值；
（3）连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．接下来证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性质得到BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为（1，a）．则用含a的式子可表示出点B′的坐标，将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标．

试题解析：

（1）∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2（x﹣1）2+4，

∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4）．

∵抛物线C1：与C2顶点相同，

∴ =1，﹣1+m+n=4．

解得：m=2，n=3．

∴抛物线C2的解析式为u2=﹣x2+2x+3．

（2）如图1所示：

设点A的坐标为（a，﹣a2+2a+3）．

∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，

∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣）2+ ．

∴当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为．

（3）如图2所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．

∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，

∴BC⊥CM，BC=2．

∵∠BMB′=90°，

∴∠BMC+∠B′MD=90°．

∵B′D⊥MC，

∴∠MB′D+∠B′MD=90°．

∴∠MB′D=∠BMC．

在△BCM和△MDB′中，

，

∴△BCM≌△MDB′

∴BC=MD，CM=B′D．

设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．

∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．

∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．

整理得：a2﹣7a﹣10=0．

解得a=2，或a=5．

当a=2时，M的坐标为（1，2），

当a=5时，M的坐标为（1，5）．

综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C2上．

【点睛】解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含a的式子表示点B′的坐标是解题的关键．