Question

如图①，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE，BD和CE相交于点F，若△ABC不动，将△ADE绕点A任意旋转一个角度．

（1）求证：△BAD≌△CAE．

（2）如图①，若∠BAC=∠DAE=90°，判断线段BD与CE的关系，并说明理由；

（3）如图②，若∠BAC=∠DAE=60°，求∠BFC的度数；

（4）如图③，若∠BAC=∠DAE= ，直接写出∠BFC的度数（不需说明理由）

Answer

（1）证明见解析；（2）BD⊥CE，理由见解析；（3）；（4）

【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD，从而得出∠BAD=∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE．

（2）判定BD与CE的关系，可以根据角的大小来判定．由∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE，进而得△BAD≌△CAE，所以∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB．再由∠BAC=∠DAE=90°，所以BD⊥CE．

（3）根据①的∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，所以∠BFC=∠BAC，再由∠BAC=∠DAE=60°，所以∠BFC=60°

（4）根据②∠BFC=∠BAC，所以∠BFC=α

试题解析：（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE

在△BAD与△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

（2）BD与CE相互垂直，BD=CE．

由（1）知，△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，

∵∠BAC=90°，

∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°，

∴∠BFC=90°

∴BD⊥CE．

（3）由题①得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，

∵∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，

∴∠BFC=∠BAC

∴∠BFC=60°．

（4）由题（1）得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，

∵∠BAC=∠DAE=α，

∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，

∴∠BFC=∠BAC

∴∠BFC=α．