Question

如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=10cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒2厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．

（1）求AB的长；（2）当t为多少时，△ABD的面积为15cm²？

（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（请在备用图中画出具体图形）

Answer

（1）5；（2）2或8； （3）2或10．

【解析】试题分析：（1）运用勾股定理直接求出；（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．

试题解析：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，

∴2AB2=BC2，

∴AB==5cm；

（2）过A作AF⊥BC交BC于点F，

则AF=BC=5cm，

∵S△ABD=15cm2，

∴AF×BD=30，

∴BD=6cm．

若D在B点右侧，则CD=4cm，t=2s；

若D在B点左侧，则CD=16cm，t=8s．

（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE．

理由如下：（说理过程简要说明即可）

①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．

∵CE=2t，BD=10﹣3t

∴2t=10﹣3t

∴t=2

证明：在△ABD和△ACE中，

∵，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．

∵CE=2t，BD=3t﹣10,

∴2t=3t﹣10,

∴t=10

证明：在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE．

点睛：本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定以及面积的计算；本题综合性强，有一定的难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质和分类讨论思想的运用.